Международная Открытая Лаборатория Перспективных Исследований и Технологий
 -O 
Прямолинейное движение материальной точки
Представим, что есть ось Х, и тело движется вдоль этой оси. Сумма всех сил, действующих на тело в таком случае будет направлена вдоль этой оси. Обозначим эти силы за F(x,V,t). Тогда, если записать второй закон Ньютона, получим:
$$ma=F(x,V,t)$$

где x - координата, V - скорость, t - время.
 
Не забываем, что:
$$ a=dot V=frac{dV}{dt}=frac{ddot x}{dt}=ddot x$$
 
Теперь, чтобы решить задачу, нужно только проинтегрировать. Как было замечено выше, сила может зависеть от координаты [F=F(x)], скорости [F=F(V)] и времени [F=F(t)].
Функция Лагранжа
Нужна, чтобы из нее с помощью уравнений Лагранжа получать уравнения движения.
 
Функция Лагранжа также называется "кинетическим потенциалом". Этот потенциал зависит от обобщенных координат $q_i$, скоростей $\dot q_i$ и времени t. В качестве координат могут выступать, как привычные декартовы координаты, так и координаты других систем координат и нетрехмерных простанств. В системах, где выполняется закон сохранения механической энергии (T+U=const), функция Лагранжа равна разности между кинетической и потенциальной энергиями:
$$L(q_i, \dot q_i, t) = T(q_i, \dot q_i, t) - U_{q_i}$$
 
Уравнения Лагранжа
В общей механике эти уравнения применяют для изучения движения механической системы. В качестве величин определяющих положение системы выбираются независимые параметры, которые называют обобщенными координатами.
 
Уравнения Лагранжа дают простой метод составления уравнений движения для большого класса механических систем.
 
Для голономных систем, то есть таких систем в которых все связи жесткие геометрические (например шарнирные) уравнения будут иметь вид:
 
$$ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial L }{\partial q_i} = Q_i$$
 
где $Q_i$ - обобщенные силы.
Вывод второго закона Ньютона
Для консервативной системы (где работают законы сохранения) функция Лагранжа выглядит следующим образом:
$$L=T-U$$

Рассмотрим, например, тело на пружине. Потенциальная энергия тела на пружине:
$$U = \frac{kx^2}{2}$$

Кинетическая энергия:
$$T= \frac{m\dot x^2}{2} $$

Итак, лагранжиан будет таким:
$$L= \frac{m \dot x^2}{2} - \frac{kx^2}{2} $$

Уравнения движения получаются следующим образом:
$$ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x} = \frac{\partial L }{\partial x} $$

Подставим в это выражение наш лагранжиан и продифференцируем, получим следующе равенство:
$$ m \ddot x = - kx $$

То есть, мы получили второй закон Ньютона!
 
Решить это уравнение, чтобы получить траектории движения особого труда не представляет.
$$ \ddot x + \frac{k}{m}x = 0 $$

$$x(t)=A\exp\left(i\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)=A\sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}} t + \varphi\right)$$
 
Про гармонический осциллятор подробнее написано в Википедии
http://ru.wikipedia.org/wiki/Гармонический_осциллятор
Вывод уравнений Лагранжа из принципа наименьшего действия
Дествие - имеет размерность энергии на время [дж*с] и находится как интеграл от Лагранжиана по времени:
$$S = \int\limits_{t_1}^{t_2} L(q,\dot q,t)dt $$
 
Между двумя заданными точками тело движется так, чтобы действие было неизменным.
 
Отсюда, если известна функция Лагранжа, то мы можем узнать как именно движутся все тела в системе. Для этого производится операция варьирования действия. В результате этой операции получаются уравнения Лагранжа, кторые уже описывают траектории тел в системе.
 
Итак сейчас с помошью варьирования получим уравнения Лагранжа из принципа наименьшего действия. Рассмотрим Действие для одного тела с одной степенью свободы.
 
Дествие тела за время $t_2 - t_1$ описывается следующим функционалом:
$$S[q(t)] = \int\limits_{t_1}^{t_2} L(q(t),\dot q(t),t)dt $$

За это время тело проходит ряд положений в ространстве. Этот ряд называется траекторией тела $q(t)$. Наша задача как раз и заключается в поиске этой величины. Как определить, по какой траетории будет проходить тело?
 
продолжение следует ...
 
Авторизация
Логин:
Пароль:
Запомнить 
Регистрация
Забыли пароль?
© МОЛПИТ, СФУ, 2009-2011